半球型类圆锥摆圆周运动模型

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场景:如图所示,一质量为 m 的小球置于半径为 r 半球形容器内,小球对半球面的压力与竖直方向的夹角为θ,小球与半球形容器始终以相同的角速度绕中心线 OO’做水平匀速转动,动摩擦因数为μ。


1、当μ=0 时,无论半圆形球的角速度多大均不影响小球的运动

受力特点:(如下图)

水平方向: FNsinθ=ma ①
竖直方向:Fcosθ=mg ②

动态分析

结论:
(1)当θ增大时, F向增加、 FN 增加、a 增加、v 增加、ω增加、R 增加、T 减小;
(2)小球的周期和角速度只与 H 和 g 有关,H 和 g 相同的不同半圆球周期和角速度相等;
(3)小球的加速度只与θ和 g 有关,g 相同时,θ越大、a 越大。

2、当μ≠0 时,半圆形球的角速度大小会影响小球的运动

(1)当 ω>ωo时, FNsinθ<mω²rsinθ,故故小球受到一沿切面向下的摩擦力 f

受力特点:(如下图)


水平方向: FN sinθ+fcosθ=ma ③
竖直方向: FN cosθ – fsinθ=mg ④

动态分析:
联立③④解得: FN =mω²rsin²θ+mgcosθ⑦,f =mω²rsinθcosθ-mgsinθ⑧;

根据向心力公式得:F向 = mω²rsinθ、a = ω²rsinθ、v = ωrsinθ、 T=2π/ω 、R=rsinθ、 H=rcosθ。

即:
1) 当θ不变,ω增大时:f 增大、 FN 增大、 F向增加、a 增加、v 增加、R 不变、H 不变、T 减
小;

(2)当 ω=ωo时, FNsinθ=mω²rsinθ,故不产生任何摩擦力,与μ=0 的情况相同;

(3)当 ω<ωo时, FNsinθ>mω²rsinθ,故小球受到一沿切面向上的摩擦力 f

受力特点:(如图)


水平方向: FN sinθ — fcosθ= ma ⑤
竖直方向: FNcosθ+ fsinθ=mg ⑥

动态分析:
联立⑤⑥解得: FN= mω²rsin2θ+ mgcosθ⑨,f =—mω²rsinθcosθ+ mgsinθ⑩;
根据向心力公式得:F向=mω²rsinθ、a = ω²rsinθ、v = ωrsinθ、 T=2π/ω 、R=rsinθ、 H=rcosθ。

即:
1)当θ不变,ω增大时: f 减小、 FN 增大、 F向增加、a 增加、v 增加、R 不变、H 不变、T减小;

故ω不变,θ增大时, f 减小、 FN 先增加后减小、 F向增加、a 增加、v 增加、R 增加、H 减小、T 不变。

球形圆锥圆周运动有关选择题


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