匀质球壳和球层对内部物体引力的有关问题

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质量分布均匀的球壳和球层都球内部物体引力的问题,是万有引力较难的一个运用,考察学生对万有引力的理解能力和微元法思想。

匀质球壳和球层对内部物体引力为零的证明

如图所示,一个质量分布均匀的球壳,在任意位置P处,一质点m所在的位置P为顶点,做两个低面积足够小的对顶圆锥,这时,两圆锥低面不仅可以视为平面,还可以看成质点。

设空腔内一质量为m的质点到圆锥底面中心的距离分别为r1、r2,两圆锥底面半径分别为R1、R2,底面密度为ρ,根据万有引力定律,两圆锥底面对质点的引力可以表示为

设球壳的厚度为d,故质量Δm1=ρπR1²d,Δm2=ρπR2²d

根据三角形相似,对应边成比例可得

得出ΔF1=ΔF2,因此两引力等大反向,所以引力的合力为零。

故在匀质球壳空腔内的任意一点位置,质点受到球壳的万有引力的合力为零。

两个推论:

1、质量分布均匀的球层对球内任意一点的引力为零,一个匀质球层可以等效为许多厚度非常薄的匀质球壳组成,任取一个球壳,对其内部任意位置P的合引力为零,所以,球壳组成的球层对内部任意质点的引力也为零。

2、在匀质球体内部距离球心r处,质点受到的万有引力就等于半径为r的球体的引力,即F’=GM’m/r²

如下图所示,设匀质球体的质量为M,半径为R,其内部半径r处的匀质球体质量为M’,与球心相距r处的一质量为m的质点受到的万有引力可以视为厚度为R—r的匀质球层和半径为r的匀质球体引力的合力,由于匀值球层对内部质点的引力为零,所以质点m受到的万有引力就等于在半径为r的匀质球体表面受到的万有引力,即引力F’=GM’m/r²。

 

匀质球壳和球层对内部物体引力问题视频


例题:

假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体,一矿井深度为d,已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(  A  )

A、1—d/R

B、1 + d/R

C、

D、

解析:由题意可知,物体在地面处的重力加速度可以由g=GM/R²,根据上面推论二可得矿井底部的重力加速度g’=GM’/(R-d)²,根据球体的质量M=ρ(4/3)πR³,可得M’/M=(R-d)³/R³,从而g’/g=1—d/R


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