带电粒子在交变电磁场中的运动

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带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路

1、先读图:看清并明白场的变化情况。

2、受力分析:分析粒子在不同的变化场区的受力情况。

3、过程分析:分析粒子在不同时间内的运动情况。

4、建模:粒子在不同运动阶段,各有怎样的运动模型。

5、找衔接点:找出衔接相邻两过程的物理量。

6、选规律:联立不同阶段的方程求解。


例题:

一、交变磁场+恒定电场

(2018·江苏五校联考)如图甲所示,平面直角坐标系中,0≤x ≤l,0≤y≤2l的矩形区域中施加一个如图乙所示的交变磁场(Bo和To未知),磁场方向向里为正。一个比荷为c的带正电的粒子从原点O以初速度vo沿x轴正方向入射,不计粒子重力。

(1)若粒子从t=0时刻入射,在t<To/2的某时刻从点(l,l/2)射出磁场,求Bo的大小;
(2)若,且粒子在0≤t≤To/2的任一时刻入射时,粒子离开磁场时的位置都不在y轴上,求To的取值范围;
(3)若,在x>l的区域施加一个沿x轴负方向的匀强电场,粒子在t=0时刻入射,将在T0时刻沿x轴正方向进入电场,并最终从(0,2l)沿x轴负方向离开磁场,求电场强度的大小以及粒子在电场中运动的路程。

[解析] (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动

由几何关系可得,解得R=5l/4
联立解得

(2)粒子运动的轨迹半径为R′=

临界情况为粒子从t=0时刻入射,并且轨迹恰好与y轴相切,如图所示


粒子运动的周期
由几何关系,t=To/2时间内,粒子转过的圆心角为5π/6
对应运动时间
应满足t1≥To/2,联立可得

(3)粒子的运动轨迹如图所示


由题意可得,解得
粒子在电场中运动,根据牛顿第二定律可得Eq=ma
根据运动学规律可得往返一次用时Δt=2vo/a,则有Δt=(n+1/2)To

可得电场强度的大小
粒子在电场中运动的路程

二、交变电场+恒定磁场

(2018·天津武清区三模)如图甲所示,相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区,磁场方向垂直纸面向里,在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ,两极板中心各有一小孔S1、S2,两极板间电压的变化规律如图乙所示,正反向电压的大小均为U0,周期为T0。在t=0时刻将一个质量为m、电量为-q(q>0)的粒子由S1静止释放,粒子在电场力的作用下向右运动,在t=T0/2时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区。(不计粒子重力,不考虑极板外的电场)

[解析] (1)粒子由S1至S2的过程,根据动能定理得
 ①
由①式得
设粒子的加速度大小为a,由牛顿第二定律得qU0/d=ma ③
由运动学公式得
联立③④式得

(2)设磁感应强度大小为B,粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R,由牛顿第二定律得qvB=mv²/R ⑥
要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞,应满足2R>L/2 ⑦
联立②⑥⑦式得
(3)设粒子在两边界之间无场区向左匀速运动的过程用时为t1,有d=vt1
联立②⑤⑨式得t1 =T0/4 ⑩

若粒子再次到达S2时速度恰好为零,粒子回到极板间做匀减速运动,设匀减速运动的时间为t2,根据运动学公式得d=vt2/2 ⑪
联立⑨⑩⑪式得t2=T0/2 ⑫
设粒子在磁场中运动的时间t=3T0-T0/2-t1-t2
联立⑩⑫⑬式得t=7T0/4 ⑭

设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T,由⑥式结合运动学公式得T=2πm/qB ⑮
由题意可知T=t ⑯
联立⑭⑮⑯式得

三、交变电、磁场

(2018·河北衡水中学调研)在科学研究中,可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图甲所示,M、N为间距足够大的水平极板,紧靠极板右侧放置竖直的荧光屏PQ,在M、N间加上如图乙所示的匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向下,磁场方向垂直于纸面向里,图中E0、B0、k均为已知量。t=0时刻,比荷q/m=k的带正电的粒子以一定的初速度从O点沿水平方向射入极板间,在0~t1(t1)时间内粒子恰好沿直线运动,时刻粒子打到荧光屏上。不计粒子的重力,涉及图象中时间间隔时取0.8=π/4,1.4=,求:

(1)在时刻粒子的运动速度v;
(2)在时刻粒子偏离O点的竖直距离y;
(3)水平极板的长度L。

[解析] (1)在0~t1时间内,粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动,则有qv0B0=qE0,得v0=E0/B0

在t1~t2时间内,粒子在电场中做类平抛运动,t2时刻竖直分速度vy=a(t2-t1)=qE0/m,

由tanθ=vy/v0=1得θ=45°,即v与水平方向成45°角斜向下。

(2)t1~t2时间粒子在电场中偏转位移
在t2~t3时间内,粒子在磁场中做匀速圆周运动,运动周期
在磁场中运动时间tt3t2=T/8
即做圆周运动的圆心角α=45°,此时速度恰好沿水平方向
t2~t3时间粒子在磁场中,由

则t3时刻偏离O点的竖直距离y=y1+y2

(3)粒子在t3时刻进入电场后以初速度做类平抛运动,平抛运动的末速度的竖直分速度
v’y=at=
则再次进入磁场时速度大小v′=
由tanθ′=v/v’y=1得θ′=45°,即v′与水平方向成45°角斜向下

由qv′B0=mv′²/r2得r2
综上可得水平极板的长度


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