碰撞是生活中很常见的运动现象，物体的碰撞一般只涉及两个物体，根据两物体的碰撞情况，可以分为一维碰撞和二维碰撞，在高中阶段，只研究一维碰撞，我们将两物体碰撞前后速度在一条直线上的碰撞称为一维碰撞，根据碰撞前后两物体组成的系统能量损失不同，分为弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三类。
弹性碰撞：碰撞前后无机械能损失的碰撞。（动量守恒，机械能守恒）
非弹性碰撞：碰撞前后有机械能损失的碰撞。（动量守恒，机械能不守恒）
完全非弹性碰撞：碰撞前后有机械能损失，并且机械能损失最大。（动量守恒，机械能损失最大）
本篇文章，刘叔物理着重介绍弹性碰撞过程中的一些基本规律，这是高考的重点内容，基本高考每年都会考，也是学习的一个难点。
一、两小球一维弹性碰撞中的一般性规律
如下图，质量分别为m_1和m_2小球在光滑的水平面上，分别以速度v_1和v_2发生弹性碰撞，设m_1碰撞后的速度为v_1^{'}，m_2碰撞后的速度为v_2^{'}。
动量守恒：m_1v_1+m_2 v_2=m_1v_1^{'}+m_2v_2^{'} （1）
机械能守恒：\cfrac{1}{2}m_1v_1^2+\cfrac{1}{2}m_2 v_2^2=\cfrac{1}{2}m_1{v_1^{'}}^2+\cfrac{1}{2}m_2{v_2^{'}}^2 （2）
由（1）式子可得：m_1(v_1-v_1^{'})=m_2(v_2^{'}-v_2) （3）
由（2）式子可得：m_1(v_1^2-{v_1^{'}}^2)=m_2({v_2^{'}}^2-v_2^2)
化简可得：m_1(v_1+v_1^{'})(v_1-v_1^{'})=m_2(v_2+v_2^{'})(v_2^{'}-v_2) （4）
由 \cfrac{(4)}{(3)}可得：v_1+v_1^{'}=v_2+v_2^{'}
移项可得：v_1-v_2=v_2^{'}-v_1^{'} （5）
从（5）式可知：两小球弹性碰撞前后的相对速度大小相等。
联立（1）和（5）可得：
v_1^{'}=\cfrac{(m_1-m_2)v_1+2m_2v_2}{m_1+m_2} （6） v_2^{'}=\cfrac{(m_2-m_1)v_2+2m_1v_1}{m_1+m_2} （7）
如果两小球是完全非弹性碰撞，碰撞后的共同速度 v_共=\cfrac{m_1v_1+m_2 v_2}{m_1+m_2} （8）
联立(6)(7)(8)三式可得：
v_1^{'}=2v_共-v_1 v_2^{'}=2v_共-v_2
可知：每个小球碰撞前后的速度关于共速的速度对称。
对下面碰撞后的速度分析：
v_1^{'}=\cfrac{(m_1-m_2)v_1+2m_2v_2}{m_1+m_2} v_2^{'}=\cfrac{(m_2-m_1)v_2+2m_1v_1}{m_1+m_2}
1、当v_2=0，为高考中最常见的一动碰一静问题，v_1^{'}=\cfrac{(m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2} v_2^{'}=\cfrac{2m_1v_1}{m_1+m_2}
2、当m_1=m_2，v_1^{'}=v_2，v_2^{'}=v_1，质量相等，速度交换。
3、引入碰撞恢复系数e=\cfrac{v_2^{'}-v_1^{'}}{v_1-v_2}。当e=1时，碰撞为弹性碰撞；当e=0时，碰撞为完全非弹性碰撞；当e<1时，碰撞为非弹性碰撞。引入恢复系数可以得到碰撞过程中两小球损失的动能：\Delta E_k=\cfrac{1}{2}(1-e^2)\cfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2)^2
二、引入质心分析碰撞过程
对于m_1、m_2物体组成的二体系统，质心位置r_c=\cfrac{m_1r_1+m_2r_2}{m_1+m_2}，质心速度v_c=\cfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}，质心加速度a_c=\cfrac{m_1a_1+m_2a_2}{m_1+m_2}。
两小球碰撞的过程中，动量守恒，两小球系统外力为零，质心加速度为零，质心做匀速直线运动。当以质心为参考系时，两小球系统总动量为零，下面刘叔物理用柯尼希定理来分析碰撞过程。
根据柯尼希定理：两小球系统的动能等于质心的动能加上两小球相对质心的动能和。
\cfrac{1}{2}m_1v_1^2+\cfrac{1}{2}m_2v_2^2=\cfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_c^2+\cfrac{1}{2}m_1(v_1-v_c)^2+\cfrac{1}{2}m_2(v_2-v_c)^2其中\cfrac{1}{2}m_1(v_1-v_c)^2+\cfrac{1}{2}m_2(v_2-v_c)^2=\cfrac{1}{2}\cfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2)^2
柯尼希定理也可以写成\cfrac{1}{2}m_1v_1^2+\cfrac{1}{2}m_2v_2^2=\cfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_c^2+\cfrac{1}{2}\cfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_1^{'}-v_2^{'})^2
其中E_{kc}=\cfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_c^2称为质心动能；E_{kr}=\cfrac{1}{2}\cfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_1^{'}-v_2^{'})^2称为资用能。\cfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}称为约化质量（或者叫折合质量）。
1、当发生弹性碰撞时，两球碰撞前后的相对速度大小不变，即v_1^{'}-v_2^{'}=v_2-v_1。
2、当发生完全非弹性碰撞时，v_1^{'}=v_2^{'}，E_{kr}=0，资用能完全损失掉。
3、当发生非弹性碰撞时，|v_1^{'}-v_2^{'}|<|v_2-v_1|，资用能部分损失。
可以看出，碰撞过程中，质心动能不会损失，损失的是资用能；利用这些结论，可以快速求解二体系统动量守恒很多问题，下面刘叔物理用几个例题来说明利用柯尼希定理解决相关问题的快捷性。
三、例题的运用
1、如图所示，质量m_1=3kg且足够长的小车静止在光滑的水平面上，现有质量m_2=2kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v_0=2m/s从左端滑上小车，物块与车上表面间的动摩擦因数u=0.5，最后恰好不掉下小车且与小车保持相对静止， g取10m/s^2，求这一过程中系统损失的机械能。
根据柯尼希定理，\cfrac{1}{2}m_1v_1^2+\cfrac{1}{2}m_2v_2^2=\cfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_c^2+\cfrac{1}{2}\cfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_1^{'}-v_2^{'})^2
对这小车和物块满足：\cfrac{1}{2}m_2v_0^2=\cfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_c^2+\cfrac{1}{2}\cfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}v_0^2
当两球相对速度为零时，损失的动能最大，资用能全部转化为热能，Q=\cfrac{1}{2}\cfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}v_0^{2}=2.4J
2、如图所示，在固定的光滑水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量也为m的木块，现有质量为m的子弹以大小为v的水平速度射入木块并立刻留在木块中，不计空气阻力，重力加速度为g，求子弹射入木块后子弹和木块能上升的最大高度。
根据动量守恒，m_0和木块m碰撞后的速度v=\cfrac{m_0v}{m_0+m}，资用能全部转化为内能Q=\cfrac{1}{2}\cfrac{m_0m}{m_0+m}v_0^{2}
碰撞后对m_0、木块m、圆环m分析，子弹和木块达到最高点的过程中，资用能全部转化为重力势能，即\cfrac{1}{2}\cfrac{(m_0+m)m}{m_0+2m}v^{2}=(m_0+m)gh
解得h=\cfrac{mm_0^2v_0^2}{2g(m_0+m)^2(m_0+2m)}
3、如图(a)，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上，物块B向A 运动，t=0时与弹簧接触，到t=2t_0，时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的v-t图像 如图（b）所示。已知从t=0到t=t_0时间内，物块A运动的距离为0.36v_0t_0。A、B分离 后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上 斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为θ(sinθ=0.6)，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。
求 (1)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值。
(2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值。
解：(1)首先，碰撞过程中根据动量守恒求出B的质量m_B。
m_B⋅1.2v_0=(m_B+m)v_0，可得m_B=5m
弹簧弹性势能的最大值时，资用能全部转化为弹性势能E_k=\cfrac{1}{2}\cfrac{m⋅5m}{(m+5m)}(1.2v_0)^2=0.6mv_0^2
(2)对两物块组成的系统，质心位移满足：x_c=\cfrac{m_Ax_A+m_Bx_B}{m_A+m_B}
质心速度满足：v_c=\cfrac{m_Av_A+m_Bv_B}{m_A+m_B}，x_c=v_ct
代入相关数据可得弹簧压缩量的最大值：Δx=x_B-x_A=0.768v_0t_0
柯尼希定理和质心相关的知识，属于高考超纲内容，在计算题中是不能直接运用的，但我们可以按步骤写相关的公式，利用柯尼希定理和质心相关知识快速得出答案，将会很大程度提高解题速度。
高中物理知识点总结